This book is dedicated to the construction and the control of a parametrix to the homogeneous wave equation $square _{boldsymbol {g}} phi =0$, where $boldsymbol {g}$ is a rough metric satisfying the Einstein vacuum equations. Controlling such a parametrix as well as its error term when one only assumes $L^2$ bounds on the curvature tensor $boldsymbol {R}$ of $boldsymbol {g}$ is a major step of the proof of the bounded $L^2$ curvature conjecture proposed by Sergiu Klainerman and solved by Sergiu Klainerman, Igor Rodnianski and the author. On a more general level, this book deals with the control of the eikonal equation on a rough background, and with the derivation of $L^2$ bounds for Fourier integral operators on manifolds with rough phases and symbols, and as such is also of independent interest.

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