The author considers semilinear parabolic equations of the form $u_t=u_xx f(u),quad xin mathbb R,t>0,$ where $f$ a $C^1$ function. Assuming that $0$ and $gamma >0$ are constant steady states, the author investigates the large-time behavior of the front-like solutions, that is, solutions $u$ whose initial values $u(x,0)$ are near $gamma $ for $xapprox -infty $ and near $0$ for $xapprox infty $. If the steady states $0$ and $gamma $ are both stable, the main theorem shows that at large times, the graph of $u(cdot ,t)$ is arbitrarily close to a propagating terrace (a system of stacked traveling fonts). The author proves this result without requiring monotonicity of $u(cdot ,0)$ or the nondegeneracy of zeros of $f$. The case when one or both of the steady states $0$, $gamma $ is unstable is considered as well. As a corollary to the author’s theorems, he shows that all front-like solutions are quasiconvergent: their $omega $-limit sets with respect to the locally uniform convergence consist of steady states. In the author’s proofs he employs phase plane analysis, intersection comparison (or, zero number) arguments, and a geometric method involving the spatial trajectories ${(u(x,t),u_x(x,t)):xin mathbb R}$, $t>0$, of the solutions in question.

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