Asymptotics are built for the solutions (y_j(x,lambda)), (y_j^{(k)}(0,lambda)=delta_{j,n-k}), (0le j,k+1le n) of the equation [[]L(y)=lambda p(x)y,quad xin [[]0,1], qquadqquadqquad(1)] where (L(y)) is a linear differential operator of whatever order (nge 2) and (p(x)) is assumed to possess a finite number of turning points. The established asymptotics are afterwards applied to the study of: 1) the existence of infinite eigenvalue sequences for various multipoint boundary problems posed on Equation (1), especially as (n=2) and (n=3) (let us be aware that the same method can be successfully applied on many occasions in case (n>3) too) and 2) asymptotical distribution of the corresponding eigenvalue sequences on the complex plane.

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