The little (N)-disks operad, (mathcal B), along with its variants, is an important tool in homotopy theory. It is defined in terms of configurations of disjoint (N)-dimensional disks inside the standard unit disk in (mathbb{R}^N) and it was initially conceived for detecting and understanding (N)-fold loop spaces. Its many uses now stretch across a variety of disciplines including topology, algebra, and mathematical physics. In this paper, the authors develop the details of Kontsevich’s proof of the formality of little (N)-disks operad over the field of real numbers. More precisely, one can consider the singular chains (operatorname{C}_*(mathcal B; mathbb{R})) on (mathcal B) as well as the singular homology (operatorname{H}_*(mathcal B; mathbb{R})) of (mathcal B). These two objects are operads in the category of chain complexes. The formality then states that there is a zig-zag of quasi-isomorphisms connecting these two operads. The formality also in some sense holds in the category of commutative differential graded algebras. The authors additionally prove a relative version of the formality for the inclusion of the little (m)-disks operad in the little (N)-disks operad when (Ngeq2m+1).

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