Let (F) be a non-Archimedean local field. Let (mathcal{W}_{F}) be the Weil group of (F) and (mathcal{P}_{F}) the wild inertia subgroup of (mathcal{W}_{F}). Let (widehat {mathcal{W}}_{F}) be the set of equivalence classes of irreducible smooth representations of (mathcal{W}_{F}). Let (mathcal{A}^{0}_{n}(F)) denote the set of equivalence classes of irreducible cuspidal representations of (mathrm{GL}_{n}(F)) and set (widehat {mathrm{GL}}_{F} = bigcup _{nge 1} mathcal{A}^{0}_{n}(F)). If (sigma in widehat {mathcal{W}}_{F}), let (^{L}{sigma }in widehat {mathrm{GL}}_{F}) be the cuspidal representation matched with (sigma) by the Langlands Correspondence. If (sigma) is totally wildly ramified, in that its restriction to (mathcal{P}_{F}) is irreducible, the authors treat (^{L}{sigma}) as known. From that starting point, the authors construct an explicit bijection (mathbb{N}:widehat {mathcal{W}}_{F} to widehat {mathrm{GL}}_{F}), sending (sigma) to (^{N}{sigma}). The authors compare this "naïve correspondence" with the Langlands correspondence and so achieve an effective description of the latter, modulo the totally wildly ramified case. A key tool is a novel operation of "internal twisting" of a suitable representation (pi) (of (mathcal{W}_{F}) or (mathrm{GL}_{n}(F))) by tame characters of a tamely ramified field extension of (F), canonically associated to (pi). The authors show this operation is preserved by the Langlands correspondence.

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