The Hamiltonian (int_X(lvert{partial_t u}rvert^2 + lvert{nabla u}rvert^2 + mathbf{m}^2lvert{u}rvert^2),dx), defined on functions on (mathbb{R}times X), where (X) is a compact manifold, has critical points which are solutions of the linear Klein-Gordon equation. The author considers perturbations of this Hamiltonian, given by polynomial expressions depending on first order derivatives of (u). The associated PDE is then a quasi-linear Klein-Gordon equation. The author shows that, when (X) is the sphere, and when the mass parameter (mathbf{m}) is outside an exceptional subset of zero measure, smooth Cauchy data of small size (epsilon) give rise to almost global solutions, i.e. solutions defined on a time interval of length (c_Nepsilon^{-N}) for any (N). Previous results were limited either to the semi-linear case (when the perturbation of the Hamiltonian depends only on (u)) or to the one dimensional problem. The proof is based on a quasi-linear version of the Birkhoff normal forms method, relying on convenient generalizations of para-differential calculus.

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