Motivated by a question of Vincent Lafforgue, the author studies the Banach spaces (X) satisfying the following property: there is a function (varepsilonto Delta_X(varepsilon)) tending to zero with (varepsilon>0) such that every operator (Tcolon L_2to L_2) with (|T|le varepsilon) that is simultaneously contractive (i.e., of norm (le 1)) on (L_1) and on (L_infty) must be of norm (le Delta_X(varepsilon)) on (L_2(X)). The author shows that (Delta_X(varepsilon) in O(varepsilon^alpha)) for some (alpha>0) iff (X) is isomorphic to a quotient of a subspace of an ultraproduct of (theta)-Hilbertian spaces for some (theta>0) (see Corollary 6.7), where (theta)-Hilbertian is meant in a slightly more general sense than in the author’s earlier paper (1979).

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