Let (M) be either a topological manifold, a Hilbert cube manifold, or a Menger manifold and let (D) be an arbitrary countable dense subset of (M). Consider the topological group (mathcal{H}(M,D)) which consists of all autohomeomorphisms of (M) that map (D) onto itself equipped with the compact-open topology. The authors present a complete solution to the topological classification problem for (mathcal{H}(M,D)) as follows. If (M) is a one-dimensional topological manifold, then they proved in an earlier paper that (mathcal{H}(M,D)) is homeomorphic to (mathbb{Q}^omega), the countable power of the space of rational numbers. In all other cases they find in this paper that (mathcal{H}(M,D)) is homeomorphic to the famed Erdős space (mathfrak E), which consists of the vectors in Hilbert space (ell^2) with rational coordinates. They obtain the second result by developing topological characterizations of Erdős space.

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