Let (mathcal{R}) be the set of all finite graphs (G) with the Ramsey property that every coloring of the edges of (G) by two colors yields a monochromatic triangle. In this paper we establish a sharp threshold for random graphs with this property. Let (G(n,p)) be the random graph on (n) vertices with edge probability (p). We prove that there exists a function (widehat c=widehat c(n)=Theta(1)) such that for any (varepsilon > 0), as (n) tends to infinity, (Prleft[[]G(n,(1-varepsilon)widehat c/sqrt{n}) in mathcal{R} right] rightarrow 0) and (Pr left[[] G(n,(1+varepsilon)widehat c/sqrt{n}) in mathcal{R} right] rightarrow 1). A crucial tool that is used in the proof and is of independent interest is a generalization of Szemerédi’s Regularity Lemma to a certain hypergraph setting.

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