Let (G) be a group, (p) a fixed prime, (I = {1,...,n}) and let (B) and (P_i, i in I) be a collection of finite subgroups of (G). Then (G) satisfies (P_n) (with respect to (p), (B) and (P_i, i in I)) if: (1) (G = langle P_i|i in Irangle), (2) (B) is the normalizer of a (p-Sylow)-subgroup in (P_i), (3) No nontrivial normal subgroup of (B) is normal in (G), (4) (O^{p^prime}(P_i/O_p(P_i))) is a rank 1 Lie-type group in char (p) (also including solvable cases). If (n = 2), then the structure of (P_1, P_2) was determined by Delgado and Stellmacher. In this book the authors treat the case (n = 3). This has applications for locally finite, chamber transitive Tits-geometries and the classification of quasithin groups.

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